Identidades trigonométricas fundamentales

CAPÍTULO  8

TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO

8.3 Identidades Fundamentales.

8.3.1 Definición. Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que aparecen en la expresión.

Ejemplo 4.

La expresión   es una identidad trigonométrica porque no importa el valor del  ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo.

Ejemplo 5.

La expresión   es una identidad trigonométrica.

Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo   en su forma estándar y forman parte de un círculo de radio a, se cumple:

 ,  por tanto  ,  .

De la definición de funciones circulares, se tiene que:

Ejemplo 6.

Si en el círculo   se divide por  , se tiene:

 ;  Por tanto,  .

De la definición de funciones circulares, se tiene:  .

8.3.2 Identidades fundamentales. El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante el, se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad.

Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales.

•  .
•  .
•  .
•  .
•  .
•  .
•  .

Ejemplo 7.

Si   está en el segundo cuadrante y  , encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.

Solución.

Como  , se tiene  . Por tanto  .

Como   está en el segundo cuadrante,  , o sea  .

 ,  ,  .

 ,  ,  .

Ahora,  ,  , por tanto,  ,  .

Como   está en el segundo cuadrante se tiene que  , o sea  .

Finalmente,  ,  .

Circunferencia goniometrica

Circunferencia goniométrica

• Vigilar esta página

Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulosrectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

Índice 

• Funciones trigonométricas en la circunferencia unidad
  • Funciones trigonométricas recíprocas
• Topología
• Véase también

Funciones trigonométricas en la circunferencia unidadEditar

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.

El área del cuadrado y del círculo unitario es el número pi.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo  con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

Principales valores de las razones trigonométricasrepresentados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

Funciones trigonométricas recíprocas

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

TopologíaEditar